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Mathématique

La relation de Pythagore

La relation de Pythagore (aussi appelée théorème de Pythagore) s'applique aux triangles rectangles et permet de trouver la mesure d’un côté lorsqu’on connaît la mesure des deux autres.

La relation de Pythagore met en relation les trois côtés du triangle rectangle de la manière suivante:

Le carré de la mesure de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes.

|(\text{Hypoténuse})^2 = (\text{Une cathète})^2 + (\text{L'autre cathète})^2|

Généralement, dans la relation de Pythagore, les trois côtés du triangle rectangle sont identifiés par les lettres |a|, |b| et |c|. L’hypoténuse du triangle est souvent identifiée par la lettre |c|. Les deux autres côtés, les cathètes, sont identifiés par les lettres |a| et |b|. Ceci est représenté dans le triangle rectangle suivant:

Ainsi, on peut donc écrire la formule précédente de la façon suivante:

|c^2 = a^2 + b^2|

ou

|(m \overline {AB})^2 = (m \overline {AC})^2 + (m \overline {BC})^2|

 

Quelle est la mesure de l’hypoténuse dans le triangle rectangle suivant?


Étape 1 : Nommer les côtés par les lettres ou les symboles correspondants et écrire la relation de Pythagore.

|a=3|
|b=4|
|c=?|

|a^2 + b^2 = c^2|

Étape 2 : Remplacer les données connues dans l'équation et la résoudre.

|3^2 + 4^2 = c^2|
|9 + 16 = c^2|
|25 = c^2|
|\sqrt{25}=c|
 |5 = c|

Dans cet exemple, la mesure de l'hypoténuse est de 5 unités.


Quelle est la mesure du côtés manquant dans le triangle rectangle ci-dessous?


Étape 1 : Nommer les côtés par les lettres ou les symboles correspondants et écrire la relation de Pythagore.

|a=?|
|b=8|
|c=10|

|a^2 + b^2 = c^2|

Étape 2 : Remplacer les données connues dans l'équation et la résoudre.

|a^2 + 8^2 = 10^2|
|a^2 + 64 = 100|
|a^2 + 64 \color{red}{- 64} = 100 \color{red}{- 64}|
|a^2 = 100 - 64|
|a^2 = 36|
|a = \sqrt{36}|
|a = 6|

Le côté manquant mesure 6 unités.

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres avec lesquels on peut produire une équation dont la forme respecte la relation de Pythagore.

Exemples :
|\{3, 4, 5\} \rightarrow 3^2 + 4^2 = 5^2|
|\{6, 8, 10\} \rightarrow 6^2 + 8^2 = 10^2|
|\{9, 12, 15\} \rightarrow 9^2 + 12^2 = 15^2|
|\{12, 16, 20\} \rightarrow 12^2 + 16^2 = 20^2|

 

Si l'on veut savoir si un triangle est rectangle, on utilise la relation de Pythagore. En effet, si la relation de Pythagore fonctionne, alors le triangle est rectangle. Sinon, il n'est pas rectangle.

 

Démonstration du théorème de Pythagore.

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème. En voici une assez simple :

- On aligne quatre triangles rectangles |abc| comme s'ils formaient une ronde.
- On les dispose de façon à ce que le côté |a| prolonge le côté |b| pour former les quatre côtés d'un grand carré dont la mesure de chaque côté sera |(a + b)|.
- Le côté |c| se trouve donc à l'intérieur du grand carré.

En voici l'illustration :


L’aire du petit carré au centre est égale à |c^2|.

Une autre façon de trouver l’aire du carré au centre serait de calculer l’aire du grand carré et de lui soustraire l’aire des quatre triangles.

Aire du grand carré - Aire des 4 triangles = Aire du carré au milieu

|\left[(a+b)^{2}\right]-\left[4\frac{ab}{2}\right]=c^{2}|
|\left[a^{2}+2ab+b^{2}\right]-\left[2ab\right]=c^{2}|
|\left[a^{2}+b^{2}\right]=c^{2}|

Les exercices

Les références