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La relation de Pythagore

La relation de Pythagore (aussi appelée théorème de Pythagore) s'applique aux triangles rectangles et permet de trouver la mesure d’un côté lorsqu’on connaît la mesure des deux autres.

La relation de Pythagore met en relation les trois côtés du triangle rectangle de la manière suivante:

Le carré de la mesure de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes.

|(\text{Hypoténuse})^2 = (\text{Une cathète})^2 + (\text{L'autre cathète})^2|

Généralement, dans la relation de Pythagore, les trois côtés du triangle rectangle sont identifiés par les lettres |a|, |b| et |c|. L’hypoténuse du triangle est souvent identifiée par la lettre |c|. Les deux autres côtés, les cathètes, sont identifiés par les lettres |a| et |b|. Ceci est représenté dans le triangle rectangle suivant:

Ainsi, on peut donc écrire la formule précédente de la façon suivante:

|c^2 = a^2 + b^2|

ou

|(m \overline {AB})^2 = (m \overline {AC})^2 + (m \overline {BC})^2|

 

Quelle est la mesure de l’hypoténuse dans le triangle rectangle suivant?


Étape 1 : Nommer les côtés par les lettres ou les symboles correspondants et écrire la relation de Pythagore.

|a=3|
|b=4|
|c=?|

|a^2 + b^2 = c^2|

Étape 2 : Remplacer les données connues dans l'équation et la résoudre.

|3^2 + 4^2 = c^2|
|9 + 16 = c^2|
|25 = c^2|
|\sqrt{25}=c|
 |5 = c|

Dans cet exemple, la mesure de l'hypoténuse est de 5 unités.


Quelle est la mesure du côtés manquant dans le triangle rectangle ci-dessous?


Étape 1 : Nommer les côtés par les lettres ou les symboles correspondants et écrire la relation de Pythagore.

|a=?|
|b=8|
|c=10|

|a^2 + b^2 = c^2|

Étape 2 : Remplacer les données connues dans l'équation et la résoudre.

|a^2 + 8^2 = 10^2|
|a^2 + 64 = 100|
|a^2 + 64 \color{red}{- 64} = 100 \color{red}{- 64}|
|a^2 = 100 - 64|
|a^2 = 36|
|a = \sqrt{36}|
|a = 6|

Le côté manquant mesure 6 unités.

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres avec lesquels on peut produire une équation dont la forme respecte la relation de Pythagore.

Exemples :
|\{3, 4, 5\} \rightarrow 3^2 + 4^2 = 5^2|
|\{6, 8, 10\} \rightarrow 6^2 + 8^2 = 10^2|
|\{9, 12, 15\} \rightarrow 9^2 + 12^2 = 15^2|
|\{12, 16, 20\} \rightarrow 12^2 + 16^2 = 20^2|

 

Si l'on veut savoir si un triangle est rectangle, on utilise la relation de Pythagore. En effet, si la relation de Pythagore fonctionne, alors le triangle est rectangle. Sinon, il n'est pas rectangle.

 

Démonstration du théorème de Pythagore.

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème. En voici une assez simple :

- On aligne quatre triangles rectangles |abc| comme s'ils formaient une ronde.
- On les dispose de façon à ce que le côté |a| prolonge le côté |b| pour former les quatre côtés d'un grand carré dont la mesure de chaque côté sera |(a + b)|.
- Le côté |c| se trouve donc à l'intérieur du grand carré.

En voici l'illustration :


L’aire du petit carré au centre est égale à |c^2|.

Une autre façon de trouver l’aire du carré au centre serait de calculer l’aire du grand carré et de lui soustraire l’aire des quatre triangles.

Aire du grand carré - Aire des 4 triangles = Aire du carré au milieu

|\left[(a+b)^{2}\right]-\left[4\frac{ab}{2}\right]=c^{2}|
|\left[a^{2}+2ab+b^{2}\right]-\left[2ab\right]=c^{2}|
|\left[a^{2}+b^{2}\right]=c^{2}|

Les exercices

QUESTION 1

Comment est-ce que je peux resoudre ca .

Une échelle appuyée contre le mur d'une maison atteint le toit situé à 8m du sol. Florencia fait basculer l'échelle et elle atteint alors le toit d'une remise de 2,5m de hauteur. Quelle est la longueur de cette echelle si la distance qui separe la maison de la remise est de 15m.

RÉPONSE 1

Appelons L la longueur de l'échelle.

Avec la relation de Pythagore on trouve :

L2 = 82 + x2

et aussi :

L2 = 2,52 + (15 - x)2

Tu comprends le 15 - x ?

Je mets ces deux expressions égales entre elles (puisqu'elles égalent toutes les deux L2)

82 + x2 = 2,52 + (15 - x)2

64 + x2 = 6,25 + 225 - 30·x + x2

30·x = 167,25

x = 5,575

Il te reste à refaire la relation de Pythagore pour trouver la longueur de l'équelle.

L2 = 82 + x2

L2 = 82 + (5,575)2

Simon

QUESTION 2

Nadia mesure 1.75m. Quand elle s'apprête à faire le grand écart et que ses jambes forment un angle de 90 degrés, sa taille diminue de 20cm. Quelle est la longueur d'une jambe de Nadia si la distance entre ses deux pieds est de 1.2m quand elle est dans cette position?

RÉPONSE 2

Il s'agit de faire la relation de Pythagore, mais pas de n'importe quelle façon.

Je pense que les premières données sont là pour brouiller les cartes.

Je suis pas mal certain que, sauf dans des cas très rares, et ce n'est pas mentionné, ses deux jambes sont de la même longueur !

Ses deux jambes forment les cathètes d'un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est donnée par la distance entre ses deux pieds, soit 1,2m.

On a donc :

j2 + j2 = 1,22

2j2 = 1,44

j2 = 0,72

j = 0,848

Chaque jambe mesure donc : 0,848 m de longueur

Simon


Les références