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La somme de fonctions

On effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l’on effectue des opérations sur les nombres.

Étant donné deux fonctions réelles f et g, on définit la somme de ces deux fonctions comme suit :

|(f+g)(x)=f(x)+g(x)|    

ou

|h(x)= f(x)+g(x)| où h est la résultante de l'addition

  • Le domaine de la fonction somme correspond à l’intersection des domaines des fonctions sur lesquelles on opère.

La représentation algébrique de la somme de fonctions

Exemple 1

Soit la fonction k est définie par |k(x)=x+1|  et la fonction l est définie par |l(x)=2x+1|. La somme de ces fonctions donnera la résultante suivante:

|(k+l)(x)=k(x)+l(x)|
           |=(x+1)+(2x+1)|
           |=3x+2|
 
Le domaine de la fonction k correspond à|\mathbb{R}| et le domaine de la fonction l correspond aussi à|\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction k+l correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction k+l sera donc |\mathbb{R}|.

Exemple 2

Soit la fonction i est définie par |i(x)=x+2| et la fonction j est définie par |j(x)=\sqrt{x}|. La somme de ces fonctions donnera la résultante suivante:

|(f)(x)=i(x)+j(x)|
       |=(x+2)+\sqrt{x}|
       |=x+\sqrt{x}+2|

Le domaine de la fonction i  correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction j correspond à|\mathbb{R}^{+}|. Le domaine de la fonction i+j correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction i+j sera donc |\mathbb{R}^{+}|.
 

La représentation graphique de la somme de fonctions

Graphiquement, la somme de fonctions polynomiales s'obtient en additionnant l’image de x de la première fonction à l’image de x  de la deuxième fonction.

Retour sur l'exemple 1

Dans le premier exemple, si on fait une table des valeurs des fonctions |k(x)=x+1|  , |l(x)=2x+1| et de la somme de k+l.

x k(x) l(x) (k+l)(x)
1 2 3 5
2 3 5 8
3 4 7 11
4 5 9 1


La fonction k+l  est croissante et son domaine est |\mathbb{R}|.

Retour sur l'exemple 2

Pour obtenir l’image de cette somme de fonctions, il suffit d’additionner les images (y) de chacune des fonctions.

La i+j est aussi une fonction croissante et son est |\mathbb{R}^{+}|.

Les exercices

Les références

Mise à jour : 14 janvier 2013
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 5