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L'aire d'un polygone régulier exprimée à l'aide de variables

La relation entre l'aire et certaines dimensions d'un polygone régulier

L'équation permettant de calculer l’aire d’un polygone régulier trouve son explication dans le fait qu’on peut décomposer le polygone régulier en plusieurs triangles isométriques. Pour calculer l’aire de ce polygone régulier, on peut simplement calculer l’aire d'un triangle qui compose ce polygone et multiplier ensuite cette valeur par le nombre de triangles qui constituent le polygone, c'est-à-dire par le nombre de côtés du polygone.

||Aire=n\times\frac{\left(b\times h\right)}{2}||
n = nombre de triangles
b = base d'un triangle
h = hauteur du triangle

La base de chaque triangle est en réalité la mesure d’un côté du polygone (b peut donc être remplacé par c dans la formule ci-dessous). La hauteur d’un triangle correspond à l’apothème du polygone (h peut donc être remplacé par a dans la formule). Le nombre de triangles correspond au nombre de côtés du polygone. Grâce à ces correspondances, on obtient donc l'équation permettant de calculer l'aire d’un polygone régulier.

||Aire=\frac{n\times c\times a}{2}||
n = nombre de côtés du polygone régulier
c = mesure d'un côté du polygone régulier
a = apothème du polygone régulier

L’aire des polygones est toujours donnée avec des unités de longueur au carré (mm2, cm2, dm2, m2, km2, etc.)

L'aire d'un polygone régulier exprimée à l'aide de variables (algèbre)

Comme pour le périmètre d’un polygone, il est possible de représenter l’aire d’un polygone à l’aide d’expressions algébriques. Prenons un pentagone régulier dont chacun des côtés mesure |3x+2| et que l’apothème mesure x.
 

Comme on le sait, la formule utilisée pour trouver l’aire d’un polygone régulier est la suivante :

|Aire=\frac{n\times c\times a}{2}|

Dans le cas présent, l’aire de ce pentagone peut donc être calculée ainsi :

||A=\frac{5\cdot\left(3x+2\right)\cdot x}{2}||
||A=\frac{5x\cdot\left(3x+2\right)}{2}||
||A=\frac{\left(5x\cdot3x\right)+\left(5x\cdot2\right)}{2}||
||A=\frac{\left(15x^{2}\right)+\left(10x\right)}{2}||
||A=7,5x^{2}+5x||

Les exercices

Exercice 1

L’illustration ci-dessous représente une piscine circulaire entourée d’un trottoir carré. Quelle est la surface représentée uniquement par le trottoir?

Ce type de problème nécessite que l’on procède au calcul de l’aire du disque et l’aire du carré. C’est la différence entre les aires calculées qui déterminera l’aire du trottoir. Trouvons d’abord l’aire de la piscine qui est représentée par un disque. L’aire d’un disque est donné par la formule suivante :

|A=\pi r^{2}|
où r est le rayon du cercle

L'aire de la piscine est donnée par:
|A=3,14y^{2}|

L'équation servant à déterminer l'aire d'un carré est la suivante:
|A=c^{2}|

L'aire du carré est donc :
|A=(2y+1)^{2}|

|A=4y^{2}+4y+1|

Pour trouver l'aire du trottoir, il faut trouver la différence entre les aires trouvées. Voici comment :

|Aire_{trottoir}=Aire_{carr\acute{e}}-Aire_{cercle}|

|A_{trottoir}=\left(4y^{2}+4y+1\right)-\left(3,14y^{2}\right)|

|A_{trottoir}=0,86y^{2}+4y+1|

 

Exercice 2

L’aire d’un panneau de signalisation en forme d’octogone est de 3 020 cm 2 et son périmètre est de 200 cm. On souhaite trouver la mesure de son apothème ainsi que la mesure de ses côtés égaux.

La formule pour calculer l’aire d’un polygone est la suivante :

|Aire=\frac{n\times c\times a}{2}|

Puisque le nombre de côtés multiplié par la mesure d'un côté est égal au périmètre, il est possible d’exprimer cette formule de la façon suivante :

|Aire=\frac{p\times a}{2}|
où p est le périmètre

On détermine dans un premier temps l’apothème. Pour ce faire, on doit isoler a dans l'équation ci-dessus.

|Aire=\frac{p\times a}{2}|

|a=\frac{2\times Aire}{p}|

|a=\frac{2\times 3020cm²}{200cm}|

|a=30,2cm|

On détermine maintenant la mesure des côtés de cet octogone. Pour trouver ces mesures, qui sont toutes identiques étant donné qu’il s’agit d’un polygone régulier, on doit diviser le périmètre par le nombre de côtés car :

|P=n\times c|

|c=\frac{P}{n}|

|c=\frac{200cm}{8}=25cm|
 


Les références